数学之美 -- 三次数学危机

维基百科·数学危机

数学危机

数学危机在历史上发生过三次,每一次均对数学的发展有重大影响。在第一次数学危机中,因为发现腰长为 1 的等腰直角三角形的斜边长度无法写成有理数,从而引申出日后的无理数概念。第二次数学危机得解决微积分引入无穷小量而产生的问题。第三次数学危机则是因罗素悖论而起,它点出朴素集合论中的缺失。

第一次数学危机

第一次数学危机起因于无理数 ${\sqrt {2}}$ 的发现,它的发生使人们对数的认识更进一步。

第二次数学危机

无穷小量。微积分的奠基人 —— 牛顿、莱布尼兹、欧拉,以及很多其他人 —— 以一种不严格的方式使用无穷小量,却也能得到正确而深刻的结果(类似地,实数在当时也没有正式的定义)。

\[\lim_{n\to \infty} a_n = 0\]

19 世纪 A.L 柯西、K. 魏尔斯特拉斯等创立了极限论,以极限为基础建立微积分学。A. 鲁宾孙于 1960 年创立了非标准分析,把实数域扩充到包含无穷小和无穷大的超实数域,圆满解决了“无穷小的矛盾”问题。

第三次数学危机

罗素悖论(英语:Russell's paradox),也称为理发师悖论,是英国哲学家罗素于 1901 年提出的悖论,一个关于类的内涵问题。

罗素悖论:设有一性质 $P$,并立以一性质函数:$P(x)$,且其中的自变量 $x$ 有此特性:$x\not \in x$,现假设由性质 $P$ 能够确定一个满足性质 $P$ 的集合 $A$ —— 也就是说 \(A=\{x \mid x \notin x\}\)。那么现在的问题是 $A\in A$ 是否成立?

首先,若 $A\in A$,则 $A$ 是 $A$ 的元素,那么 $A$ 具有性质 $P$,由性质函数 $P$ 可以得知 $A\not \in A$;其次,若 $A\not \in A$,根据定义, $A$ 是由所有满足性质 $P$ 的类组成,也就是说,$A$ 具有性质 $P$,所以 $A\in A$。

到现在,从整体来看,还没有解决到令人满意的程度。

数学基础

The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences

参考


参考资料快照
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