数学之美 -- 欧拉公式,复数域的成人礼

虽然作者署名,不能转载。但是文章实在太优美了,隔了半个月还印象深刻,最终还是转了。所有公式一个字母一个字母重新敲的。

原文:马同学·欧拉公式,复数域的成人礼

用几何直觉理解欧拉公式!

导言

之前在“复数,通往真理的最短路径”中说过,复数域其实就是二维的数域,提供了更高维度的、更抽象的视角。本文来看看,我们是怎么从实数域扩展到复数域的。

大家可能觉得这个扩展并不复杂,也就是 $a$、$b$ 两个任意实数,外加虚数 $i=\sqrt{-1}$,把它们结合在一起,就完成了:

\[a+bi,\quad (a,b\in\mathbb{R})\]

但数域的扩张从来没有这么简单,就好像夫妻生下小孩只是个开始,困难的是之后的抚养、教育:

复数域的扩张充满崎岖。正如欧拉的老师对他的赞扬:

我介绍数学分析的时候,它还是个孩子,而你正在将它带大成人。

—— 约翰·伯努利

这句话虽然是说微积分(数学分析)的,但用在复数域上也不违和。欧拉的欧拉公式正是“复数域”的成人礼:

\[e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,\quad (\theta\in\mathbb{R})\]

数域扩张的历史

来看看之前的数域是怎么扩张的吧。每次想到数域的扩张,我都有种大爆炸的画面感,宇宙从一个奇点爆炸中产生:

自然数到整数

数学刚开始也是一片空白:

0 的出现就是数学的奇点:

根据皮亚诺定理(可以参考为什么 1+1=2?)“爆炸”出了自然数域(可以参考自然数是否包含 0?):

很显然上面的图像是不对称的,哪怕出于美学考虑,人们都有冲动把左边补齐,增加负数,这样就得到了整数域:

添加负数之后,有一个问题就出现了:

\[4^{-1}=\color{red}{?}\]

我们知道 $4^3$ 是对 $4\times 4\times 4$ 的缩写,并且容易推出如下计算规则:

\[4^{2}\times 4^{3}=4^{2+3}=4^5\]

我们添加负数之后,希望这个规则依然适用,即:

\[4^{-1}\times 4^{1}=4^0=1\implies 4^{-1}=\frac{1}{4^1}\]

更一般的有:

\[4^{-n}=\frac{1}{4^n},\quad (n\in\mathbb{Z}^+)\]

并且还惊喜地发掘出负数次方的意义,如果说正数次方是对乘法的缩写,那么负数次方(正数的相反数)是对除法(乘法的逆运算)的缩写:

\[\begin{array}{c|c} \hline \\ \quad 4^3\quad&4\times 4\times 4\quad \\ \quad 4^{-3}\quad&\quad 1\div 4\div 4\div 4\quad\\ \\ \hline \end{array}\]

整数到实数

很显然整数之间还有很多空隙,我们可以用有理数(rational number,翻译为“可比数”更合理):

\[\frac{a}{b},\quad(a,b\in\mathbb{Z},b\ne0)\]

来填满这些空隙(示意图):

还有空隙,最终用无理数(irrational number,“不可比数”)来填满这些缝隙,得到实数轴:

自然会有这么一个问题:

\[4^{\pi}=\color{red}{?}\]

$\pi$ 是无理数,上面这个问题需要用极限来回答,这里不再赘述,只是可以看出实数域的扩张也是很艰难的。

复数基础

往下面讲之前,稍微复习下复数的一些基础知识。

复数的运算规则

复数的运算规则并非凭空捏造的。开头提到的文章“复数,通往真理的最短路径”说过,形如:

\[x^3-3px-2q=0\]

的三次方程,卡尔丹诺在《大术》这本书中给出了通解:

\[x=\sqrt[3]{q+\sqrt{q^2-p^3}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{q^2-p^3}}\]

如果 $p=5$、$q=2$,可以得到方程:

\[x^3-15x-4=0\]

从图像上看,$x^3-15x-4$ 与 $y=0$ 有三个交点的:

套用通解会得到:

\[x=\sqrt[3]{2+\sqrt{2^2-5^3}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{2^2-5^3}}=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}\]

这里就出现复数了。拉斐尔·邦贝利(1526-1572),文艺复兴时期欧洲著名的工程师,给出了一个思维飞跃,指出如果复数遵循如下的计算规则:

加法:\((a+bi)+(c+di)=a+c+(b+d)i\)

乘法:\((a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i+bdi^2\)

那么就可以根据之前的通解得到三个实数解。

复数加法、减法的几何意义

为了之后的讲解,先引入几个符号,对于一般的向量 $z=a+bi$ 有:

\[\begin{array}{c|c} \hline \quad 名称 \quad&\quad 解释 \quad&\quad 符号 \\ \hline \\ \quad 模 \quad&\quad 长度 \quad&\quad |z|\quad \\ \quad 幅角 \quad&\quad 与实轴正方向的角度 \quad&\quad \arg(z)\\ \\ \hline \end{array}\]

复数的几何表示和二维向量有点类似,只是横坐标是实轴(\(Re\)),纵坐标是虚轴(\(Im\)),下图还把刚才的符号给标了出来:

加法的几何意义和向量也一样:

但向量没有乘法(点积、叉积和实数乘法不一样),这就是复数和向量的区别。复数是对实数的扩展,所以要尽量兼容实数,必须要有加减乘除、乘方开方、对数等运算。

根据刚才的乘法规则,计算可得:

\[(a+bi)i=-b+ai\]

画出来发现,两者是正交的:

还可以从另外一个角度来理解这一点,$i$ 在复平面上是这样的:

那么,$(a+bi)$ 乘以虚数 $i$,就是:

\[\begin{array}{c|c} \hline \quad \quad&\quad 长度 \quad&\quad 幅角 \quad \\ \hline \\ \quad z=a+bi\quad&\quad |z|\quad&\quad\arg(z)\quad \\ \quad i\quad&\quad |i|=1\quad&\quad\arg(i)=90^\circ\quad \\ \quad z\times i\quad&\quad |i|\times|z|\quad&\quad\arg(z)+\arg(i)\quad \\ \\ \hline \end{array}\]

对于一般的向量 \(c+di\),也符合这个规律:

\[\begin{array}{c|c} \hline \quad \quad&\quad 长度 \quad&\quad 幅角 \quad \\ \hline \\ \quad z_1=a+bi\quad&\quad |z_1|\quad&\quad\arg(z_1)\quad \\ \quad z_2=c+di\quad&\quad |z_2|\quad&\quad\arg(z_2)\quad \\ \quad z_1\times z_2\quad&\quad |z_1|\times|z_2|\quad&\quad\arg(z_1)+\arg(z_2)\quad \\ \\ \hline \end{array}\]

好了,知道这些差不多了,开始正题。

复数域的扩张

好了,轮到复数域了,复数定义为:

\[a+bi,\quad (a,b\in\mathbb{R})\]

那么,来回答数域扩张都会问到的问题吧:

\[e^{i}=\color{red}{?}\]

这个问题可以用欧拉公式:

\[e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,\quad (\theta\in\mathbb{R})\]

来回答,取 \(\theta=1\),可得:

\[e^{i}=\cos 1+i\sin 1\]

画出来就是复平面上模长为 $1$,幅角也为 $1$ 的点:

更一般的,欧拉公式说明,$e^{i\theta}$ 是单位圆上幅角为 $\theta$ 的点:

但是,欧拉公式 \(\color{red}{凭什么}\) 长这个样子!

$e^x$ 的定义

欧拉公式肯定不是凭空捏造的,先来看看实数域中有什么可以帮助我们的。

实数域中的 $e^x$ 函数,起码有三种定义方式:

  • 极限的方式:$e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$

  • 泰勒公式的方式:$e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots$

  • 导数的方式:$e^x=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x$

从这三种定义出发都可以得到欧拉公式。

极限的方式

因为:

\[e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\]

我们可以大胆地令 $x=i\theta$:

\[e^{\color{orange}{i\theta}}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\color{orange}{i\theta}}{n}\right)^n\]

那么之前的 $e^i$ 就等于:

\[e^{i}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{i}{n}\right)^n\]

我们来看看这个式子在几何上有什么意义。因为 $e^i$ 对应的是单位圆上幅角为 $1$ 的点,所以先给个参照物,虚线是单位圆,实线对应的幅角为 $1$:

然后取 $n=3$,可以得到:

\[\left(1+\frac{i}{3}\right)^3=\left(1+\frac{i}{3}\right)\times \left(1+\frac{i}{3}\right)\times \left(1+\frac{i}{3}\right)\]

根据复数的乘法规则,可以看出:

取 $n=10$:

取 $n=30$,已经很接近单位圆上幅角为 $1$ 的点了:

对于更一般的 $e^{i\theta}$ 也是同样的:

当 $n=100$ 时,就很接近单位圆上幅角为 $\theta$ 的点了:

可以证明当 $n\to\infty$ 时,$e^{i\theta}$ 为单位圆上幅角为 $\theta$ 的点,也就是得到了欧拉公式:

\[e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,\quad (\theta\in\mathbb{R})\]

可能你还会问,直接替换 $x$ 为 $i\theta$,合理吗:

\[e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\implies e^{\color{orange}{i\theta}}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{\color{orange}{i\theta}}{n}\right)^n\]

这里是理解欧拉公式的 \(\color{red}{关键}\),我们要意识到一点,欧拉公式是一种人为的选择,完全可以不这么去定义 \(e^{i\theta}\)。但是,做了别的选择,会面临一个问题:会不会在现有的庞大复杂的数学体系中产生矛盾?

打个比方吧,在实数中“除以 0”是不合理的,假如你想让它变得合理,那么分分钟会导出矛盾:

\[\begin{aligned} 0=0\implies 2\cdot 0=1\cdot 0\implies \frac{2\cdot 0}{0}=\frac{1\cdot 0}{0}\implies 2=1 \end{aligned}\]

欧拉公式并不会引发冲突,并且随着学习的深入,你会发现数学家已经证明了它是一种足够好的选择,这里就不赘述了。

泰勒公式的方式

实数域下,有这些泰勒公式:

\[e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots\] \[\sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+\cdots\] \[\cos x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+\cdots\]

也是直接替换 $e^x$,令 $x=i\theta$ 有:

\[\begin{aligned} e^{i\theta} & = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \frac{(i\theta)^4}{4!} + \frac{(i\theta)^5}{5!} + \frac{(i\theta)^6}{6!} + \frac{(i\theta)^7}{7!} + \frac{(i\theta)^8}{8!} + \cdots \\ & = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{i\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{i\theta^5}{5!} - \frac{\theta^6}{6!} - \frac{i\theta^7}{7!} + \frac{\theta^8}{8!} + \cdots \\ & = \left( 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \frac{\theta^8}{8!} - \cdots \right) + i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots \right) \\ &=\cos\theta + i\sin\theta \end{aligned}\]

这也有漂亮的几何意义,看看 $e^i$ 的前三项:

\[e^i\approx 1 + i + \frac{i^2}{2!}\]

这是三个复数相加,加出来就是:

再增加第四项 $\frac{i^3}{3!}$:

随着 $n\to\infty$,仿佛一个螺旋不断地接近单位圆上幅角为 $1$ 的点。对于更一般的 $e^{i\theta}$ 也是类似的螺旋:

导数的方式

实数域有:

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{rx}=re^{rx},\quad(r\in\mathbb{R})\]

直接套用:

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{it}=ie^{it}\]

假设 $t$ 是时间,那么 $e^{it}$ 是运动在复平面上的点的位移函数,$t=0$ 时位置为 $e^{i0}=1$:

$e^{it}$ 的运动速度,也就是导数 $ie^{it}$。这个速度很显然是一个向量,有方向,也有速度。它的方向垂直于 $e^{it}$(根据乘法规则,乘以 $i$ 表示旋转 $90^\circ$):

并且不论 $t$ 等于多少,运动方向都垂直于位移,所以只能在单位圆上运动(圆的切线始终垂直于半径):

而速度的大小就是速度的模长 \(\vert ie^{it}\vert\)。之前说了,对于两个复数 $z_1\times z_2$,它们的模长为 \(\vert z_1\vert \times \vert z_2\vert\),那么:

\[\vert ie^{it}\vert =\vert i\vert \times \vert e^{it}\vert\]

\(\vert i\vert\) 肯定等于 $1$ 了,$e^{it}$ 在单位圆上运动,所以模长也为 $1$,所以速度的大小为:

\[\vert ie^{it}\vert =1\]

速度大小为 $1$ 意味着 $t$ 时刻走了 $t$ 长度的路程。而 $e^{it}$ 在单位圆上运动,那么 $t$ 时刻运动了 $t$ 弧长,因为是单位圆,所以对应的幅角为 $t$:

总结

有了欧拉公式之后,任何复数都可以表示为:

\[z=a+bi=re^{i\theta}\]

其中:

\[r=\vert z\vert,\quad\theta=\arg(z)\]

个人觉得 $a+bi$ 只是复数的初始形态,而 $re^{i\theta}$ 才是复数的完成形态,因为它更具有启发性。比如计算乘法的时候:

\[z_1=r_1e^{i\theta_1},\quad z_2=r_2e^{i\theta_2}\]

那么有:

\[z_1\times z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\] \[z_1\div z_2=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}\]

几何意义更加明显。并且扩展了乘方和对数运算:

\[a^i=e^{i\ln a}\] \[\ln \underbrace{i}_{ 单位圆上幅角为 \frac{\pi}{2} 的点 }=\ln \left(e^{i\frac{\pi}{2}}\right)=i\frac{\pi}{2}\]

到此为止,基本上所有的初等运算都全了。更多高等的运算比如三角函数、积分、导数,也需要借助欧拉公式在复数上进行推广。

欧拉公式中,如果取 $\theta=\pi$,就得到了欧拉恒等式:

\[e^{i\pi}+1=0\]

这个公式也被誉为了上帝公式,包含了数学中最基本的 $e$、$\pi$、$i$、$1$、$0$,仿佛一句诗,道尽了数学的美好。

参考


参考资料快照
参考资料快照

本文短链接:
If you have any questions or feedback, please reach out .