数学笔记 -- 线性代数的本质
线性代数存在完整的空间意义，平时的写法只是一种简写。
线性代数的本质 https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E
线性代数里面“线性”两个字究竟是啥意思？ 线性变换就是保持网格线平行和等距分布，并且保持原点不动的一类变换。
\[\underbrace{\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right]}_{\text {Shear }}(\underbrace{\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]}_{\text {Rotation }}\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right])=\underbrace{\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]}_{\text {Composition }} \left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]\]齐次坐标，数字图像平移、伸缩、旋转等计算，可以通过 Composition 加快计算速度。
行列式
行列式是线性变换的伸缩因子。
\[\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]\right)=a d-b c\]线性方程组
点积
叉乘 Cross product
抽象向量空间
克莱姆法则
toP10
编程与线性代数
模型的作用就是把一部分复杂性隐藏到模型中，使得模型的使用者可以更加简单地解决问题。曾经有人质疑 C++ 太复杂，C++ 之父 Bjarne Stroustrup 这样回答：
Complexity will go somewhere: if not the language then the application code.
线性代数的核心：向量模型。给定三维坐标系中的一点 \((x_0, y_0, z_0)\) 和一个平面 \(a*x + b*y + c*z + d = 0\)，求点到平面的垂直距离？
根据平面方程，平面的法向量 \((Normal Vector)\) 是 \(v=(a, b, c)\)，设从平面上任意一点 \((x, y, z)\) 到 \((x_0, y_0, z_0)\) 的向量为 \(w\)， 那么通过内积 \(dot\_product(w, v)\) 算出 \(w\) 到 \(v\) 的投影向量 \(p\)，其大小就是 \((x_0, y_0, z_0)\) 到平面 \(a*x + b*y + c*z + d = 0\) 的垂直距离。 这里用到了向量模型的基本概念：法向量，投影向量，内积，整个问题解决过程简洁明快。
参考
- [1] 线性代数的本质
- [2] 数学对于程式设计来说重要吗？程式设计大佬眼里的线性代数
- [3] 数学对于编程来说重要吗？编程眼里的线性代数
- [4] 编程大佬眼中的线性代数，到底是什么样的？
- [5] 编程与线性代数
参考资料快照
参考资料快照
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