数学笔记 -- 线性代数的本质

线性代数存在完整的空间意义,平时的写法只是一种简写。

线性代数的本质 https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E

线性代数里面“线性”两个字究竟是啥意思?线性变换就是保持网格线平行和等距分布,并且保持原点不动的一类变换。

\[\underbrace{\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right]}_{\text {Shear }}(\underbrace{\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]}_{\text {Rotation }}\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right])=\underbrace{\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]}_{\text {Composition }} \left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]\]

齐次坐标,数字图像平移、伸缩、旋转等计算,可以通过 Composition 加快计算速度。

行列式

行列式是线性变换的伸缩因子。

\[\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]\right)=a d-b c\]

线性方程组

点积

叉乘 Cross product

  
  

抽象向量空间

克莱姆法则

toP10

编程与线性代数

模型的作用就是把一部分复杂性隐藏到模型中,使得模型的使用者可以更加简单地解决问题。曾经有人质疑 C++ 太复杂,C++ 之父 Bjarne Stroustrup 这样回答:

Complexity will go somewhere: if not the language then the application code.

线性代数的核心:向量模型。给定三维坐标系中的一点 \((x_0, y_0, z_0)\) 和一个平面 \(a*x + b*y + c*z + d = 0\),求点到平面的垂直距离?

根据平面方程,平面的法向量 \((Normal Vector)\) 是 \(v=(a, b, c)\),设从平面上任意一点 \((x, y, z)\) 到 \((x_0, y_0, z_0)\) 的向量为 \(w\), 那么通过内积 \(dot\_product(w, v)\) 算出 \(w\) 到 \(v\) 的投影向量 \(p\),其大小就是 \((x_0, y_0, z_0)\) 到平面 \(a*x + b*y + c*z + d = 0\) 的垂直距离。 这里用到了向量模型的基本概念:法向量,投影向量,内积,整个问题解决过程简洁明快。

参考


参考资料快照
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